¿Qué es un logaritmo y una logaritmización?
Un logaritmo se utiliza para calcular el exponente de una potencia cuando conocemos el valor de la potencia y el valor de su base. Por tanto, un logaritmo puede explicarse de forma más sencilla como la inversa de la exponenciación.
En términos básicos, el logaritmo de base 'a' a partir de 'b', lo llamaremos número 'e' - tal que 'a' elevado a la potencia de 'c' es igual a 'b'.
La fórmula matemática del logaritmo es la siguiente: log_a(b)=c <-- la fórmula dada puede leerse así: el logaritmo del número 'b' de base 'a' se llama tal número 'c' (es decir, tal número a elevado a la potencia de 'c') que nos dará el número 'b'.
Así, log_a(B)=c no es otra cosa que a^c=b.
Las tres condiciones necesarias para que exista un logaritmo son
1. a>0 es decir, la base del logaritmo debe ser siempre positiva y mayor que cero.
2. a≠1 significa que la base debe ser distinta de 1.
3. b>0 significa que el número logarítmico debe ser positivo.
¿Cómo se calcula un logaritmo?
El cálculo de logaritmos puede ser bastante problemático a primera vista. En primer lugar, tenemos que fijarnos bien y aprender la definición de logaritmo (dada anteriormente). Una vez hecho esto, podemos ver inmediatamente que al resolver el logaritmo, tenemos que responder a una pregunta muy importante: ¿a qué potencia tenemos que elevar la base (es decir, nuestra "a") para obtener el número logarítmico (es decir, nuestra "b")?
Ejemplos:
- Un logaritmo de base 3 del número 9 = 2.
¿Por qué?
Porque 3 al cuadrado nos da 9.
- Un logaritmo de base 3 del número 81 = 4
¿Por qué?
Porque 3 elevado al cuadrado a la potencia de 4 da 81.
- Un logaritmo de base 2 del número 16 = 4
¿Por qué?
Porque 2 a la potencia de 4 nos da 16.
Operaciones básicas con logaritmos
- Suma y resta
Cuando los logaritmos tienen la misma base, podemos sumarlos y restarlos libremente mediante las siguientes fórmulas
log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c)
log_a(b) - log_a(c) = log_a(b / c)
Ejemplos
- log_(2)2 + log_2(8)
- log_25 + log_40
- log_8(32) + log_8(2)
- log_3(36) - log_3(4)
- log_2(24) - log_2(3)
- log_100 - log_2(8)
Ecuaciones logarítmicas
¿Qué es una ecuación logarítmica? Es una ecuación en la que una incógnita aparece en la expresión logarítmica o en la base del logaritmo.
Para empezar a resolver ecuaciones logarítmicas, debemos partir de las definiciones y condiciones necesarias para que existan logaritmos. Recordémoslas:
1. a>0 es decir, la base del logaritmo debe ser siempre un número positivo y mayor que cero.
2. a≠1 significa que la base debe ser distinta de 1.
3. b>0 significa que el número logarítmico debe ser positivo.
Así, para resolver correctamente una ecuación logarítmica, hay que llevar las ecuaciones a la igualdad de logaritmos con las mismas bases.
Ejemplos de ecuaciones logarítmicas
- log_2(x) = 4
- log_2(x^2+3x-8) = 1
- log_x+2(9) = 2
- 2+log_5(3x-5) = log_5(2x+23)
- log_4(x)+log_16(x)+log_64(x) = 713
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