Logarytmy

Czym jest logarytm i logarytmowanie?

Logarytmowanie polega na obliczeniu wykładnika potęgi, wtedy gdy znamy wartość potęgi i wartość jej podstawy. Logarytm można więc najprościej wytłumaczyć jako działanie odwrotne do potęgowania.
Najprościej rzecz ujmując: Logarytmem o podstawie a z liczby b będziemy nazywać taką liczbęc, że a podniesione do potęgi c jest równe b.
Matematyczny wzór logarytmu przedstawia się następująco: log_a(b)=c <-- podany wzór przeczytamy w następujący sposób: Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy taką liczbę c, czyli taką liczbę a podniesioną do potęgi c, która da nam liczbę b.
Czyli log_a(B)=c to nic innego jak a^c=b

Trzy warunki niezbędne do istnienia logarytmu

1. 
   a>0 to znaczy, podstawa logarytmu musi być zawsze liczbą dodatnią i większą od zera
   2. a≠1 to znaczy, podstawa musi być różna od 1
   3. b>0 to znaczy, liczba logarytmowana musi być dodatnia

Jak obliczyć logarytm?

Obliczanie logarytmów na pierwszy rzut oka może sprawić nie lada problem. Na początek należy dobrze przyjrzeć się i przyswoić powyżej przywołaną definicję logarytmu. Gdy już to zrobimy od razu możemy zauważyć, że rozwiązując logarytm musimy odpowiedzieć sobie na bardzo ważne pytanie: Do jakiej potęgi należy podnieść podstawę, czyli nasze a, aby otrzymać liczbę logarytmowaną, czyli nasze b?
Przykłady:
- Logarytm o podstawie 3 z liczby 9 = 2
Dlaczego?
Ponieważ 3 podniesione do kwadratu daje nam 9.
- Logarytm o podstawie 3 z liczby 81 = 4
Dlaczego?
Ponieważ 3 podniesione do potęgi 4 daje nam 81.
- Logarytm o podstawie 2 z liczby 16 = 4
Dlaczego?
Ponieważ 2 podniesione do potęgi 4 daje nam 16.

Podstawowe działania na logarytmach

- Dodawanie i odejmowanie
Gdy logarytmy mają taką samą podstawę możemy je swobodnie dodawać i odejmować korzystając z poniższych wzorów:
log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c)
log_a(b) - log_a(c) = log_a(b / c)
Przykłady
- log_(2)2 + log_2(8)
- log_25 + log_40
- log_8(32) + log_8(2)
- log_3(36) − log_3(4)
- log_2(24) − log_2(3)
- log_100 − log_2(8)

Równania logarytmiczne
Czym jest równanie logarytmiczne? Jest to takie równanie w której pojawia się niewiadoma w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu.
Aby zabrać się za rozwiązywanie równań logarytmicznych powinniśmy zacząć od definicji i warunków niezbędnych do zaistnienia logarytmów. Przypomnijmy je:
1. a>0 to znaczy, podstawa logarytmu musi być zawsze liczbą dodatnią i większą od zera
2. a≠1 to znaczy, podstawa musi być różna od 1
3. b>0 to znaczy, liczba logarytmowana musi być dodatnia
Następnie, aby poprawnie rozwiązać równanie logarytmiczne należy doprowadzić równania do równości logarytmów o tych samych podstawach.

Przykłady równań logarytmicznych
- log_2(x) = 4
- log_2(x^2+3x−8) = 1
- log_x+2(9) = 2
- 2+log_5(3x−5) = log_5(2x+23)
- log_4(x)+log_16(x)+log_64(x) = 713

Matematyka - Inne zagadnienia