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Logarithmen

Was ist ein Logarithmus und die Logarithmierung?

Ein Logarithmus wird verwendet, um den Exponenten einer Potenz zu berechnen, wenn wir den Wert der Potenz und den Wert ihrer Basis kennen. Ein Logarithmus lässt sich daher am einfachsten als Umkehrung der Potenzierung erklären.

Der Logarithmus zur Basis "a" von "b" ist, vereinfacht ausgedrückt, eine Zahl "e" - so dass "a" hoch "c" gleich "b" ist.
Die mathematische Formel des Logarithmus lautet: log_a(b)=c <-- Die angegebene Formel lässt sich wie folgt lesen: Der Logarithmus der Zahl 'b' zur Basis 'a' heißt eine solche Zahl 'c' (d.h. eine solche Zahl a hoch 'c'), die uns die Zahl 'b' ergibt.
Log_a(B)=c ist also nichts anderes als a^c=b

Die drei notwendigen Bedingungen für die Existenz eines Logarithmus:

1. a>0, d.h. die Basis des Logarithmus muss immer positiv und größer als Null sein
2. a≠1 bedeutet, dass die Basis von 1 verschieden sein muss
3. b>0 bedeutet, dass die logarithmische Zahl positiv sein muss

Wie berechnet man einen Logarithmus?
Die Berechnung von Logarithmen kann auf den ersten Blick ein ziemliches Problem darstellen. Zunächst einmal muss man sich die Definition des Logarithmus (siehe oben) genau ansehen und lernen. Danach können wir sofort sehen, dass wir beim Lösen des Logarithmus eine sehr wichtige Frage beantworten müssen: Um welche Potenz muss die Basis (d. h. unser "a") erhöht werden, um die logarithmische Zahl (d. h. unser "b") zu erhalten?

Beispiele:
- Ein Logarithmus zur Basis 3 der Zahl 9 = 2
Warum?
Weil 3 zum Quadrat die Zahl 9 ergibt.
- Ein Logarithmus zur Basis 3 von 81 = 4
Und warum?
Weil das Quadrat von 3 hoch 4 die Zahl 81 ergibt.
- Ein Logarithmus zur Basis 2 der Zahl 16 = 4
Weshalb?
Weil 2 hoch 4 die Zahl 16 ergibt.

Grundlegende Operationen mit Logarithmen
- Addition und Subtraktion
Wenn Logarithmen die gleiche Basis haben, können wir sie mit den folgenden Formeln addieren und subtrahieren:
log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c)
log_a(b) - log_a(c) = log_a(b / c)
Beispiele
- log_(2)2 + log_2(8)
- log_25 + log_40
- log_8(32) + log_8(2)
- log_3(36) - log_3(4)
- log_2(24) - log_2(3)
- log_100 - log_2(8)

Logarithmische Gleichungen
Was ist eine logarithmische Gleichung?

Es handelt sich um eine Gleichung, bei der eine Unbekannte im logarithmischen Ausdruck oder in der Basis des Logarithmus erscheint.
Um mit dem Lösen von logarithmischen Gleichungen zu beginnen, sollten wir mit den Definitionen und Bedingungen beginnen, die für die Existenz von Logarithmen notwendig sind. Wir wollen sie in Erinnerung rufen:

1. a>0, d.h. die Basis des Logarithmus muss immer eine positive Zahl und größer als Null sein
2. a≠1 bedeutet, dass die Basis von 1 verschieden sein muss
3. b>0 bedeutet, dass die logarithmische Zahl positiv sein muss

Um eine logarithmische Gleichung korrekt zu lösen, müssen die Gleichungen dann auf die Gleichheit der Logarithmen mit der gleichen Basis gebracht werden.

Beispiele für logarithmische Gleichungen
- log_2(x) = 4
- log_2(x^2+3x-8) = 1
- log_x+2(9) = 2
- 2+log_5(3x-5) = log_5(2x+23)
- log_4(x)+log_16(x)+log_64(x) = 713

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